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Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Hoy toca el turno de hablar de dos conceptos muy útiles: el Máximo Común Divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm). Y para entenderlos bien, creo que es muy importante primero tener bien claro qué es un múltiplo y qué es un divisor, de que entiendas estas definiciones depende el que puedas saber cómo resolver los problemas que involucran al MCD o al mcm.
¿Qué son los múltiplos?
Un múltiplo es el resultado que se obtiene de multiplicar un número por otro número entero. Por ejemplo, los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36… es decir, los múltiplos de 6 son todos los números de la tabla del 6. Y esto aplica para todos los números, solo toma en cuenta que cuando nos referimos a los múltiplos de un número debemos tomar en cuenta en que son infinitos, ya que siempre puedes seguir multiplicando a cualquier número por otro más grande.
¿Qué son los divisores?
En cambio, un divisor es un número que divide exactamente a otro, es decir, sin dejar residuo. Por ejemplo, los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, y nada más, estos son todos los divisores de 12, y aquí quiero resaltar en que estos son finitos, es decir, sí se acaban.
Con estos dos conceptos en mente ahora sí podemos continuar con aquellos que son el objeto principal de esta clase.
Máximo común divisor (MCD)
El MCD es el número más grande que puede dividir exactamente a dos o más números.
Antes de explicar cómo se calcula veamos algunos ejemplos…
- El número más grande que divide a 20 y a 16 es el 4, es decir, el MCD de 20 y 16 es 4. También podemos abreviarlo como MCD (16, 20)= 4.
Explicación: a continuación te muestro los múltiplos de 16 y 20, por separado, observa que el número más grande que tienen en común estas listas es precisamente el 4, por eso se llama el máximo común divisor.
Los divisores de 16 son: 1, 2, 4, 8, y 16.
Los divisores de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
- El MCD de 16 y 24 es 8.
Los divisores de 16 son: 1, 2, 4, 8, y 16.
Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. - El MCD de 8 y 11 es 1.
Los divisores de 8 son: 1, 2, 4 y 8.
Los divisores de 11 son: 1 y 11. - Y por último, un ejemplo de 3: el MCD de 15, 20 y 25 es el 5.
Los divisores de 15 son: 1, 3, 5 y 15.
Los divisores de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
Los divisores de 25 son: 1, 5 y 25.
Algoritmo
Vamos a explicar cómo calcular el MCD de dos números utilizando a 24 y 36 como ejemplo, si prefieres una explicación en video da clic aquí.
- Primero, calculamos los divisores:
24 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36 → 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 - Luego, observamos que los que se repiten son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
- Como el mayor de estos es el 12, entonces el MCD (24, 36) = 12.
Nota: El MCD es útil cuando queremos reducir fracciones o repartir cosas en partes iguales sin que sobre nada.
Mínimo común múltiplo
El mcm es el número más pequeño que puede ser dividido por dos o más números de manera simultánea.
Por ejemplo, el número más pequeño que puede ser dividido por 12 y por 15 es el 60, es decir, el mcm de 12 y 15 es 60. También podemos abreviarlo como mcm (12, 15)= 60.
Algunos múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, …
Algunos múltiplos de 15 son: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, …
Otro ejemplo sería el 120, que es el múltiplo más pequeño que teienen en común el 24 y el 30, es decir, el mcm de 24 y 30 es 120.
Algunos múltiplos de 24 son: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168…
Algunos múltiplos de 30 son: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210…
Algoritmo
Te voy a explicar cómo calcular el mcm de dos números utilizando a 8 y 12 como ejemplo, pero si quieres la explicación en video sólo da clic aquí.
- Escribimos algunos de sus múltiplos:
8 → 8, 16, 24, 32, 40…
12 → 12, 24, 36, 48… - Buscamos el más pequeño que aparece en ambas listas, que en este caso es el 24. Así, podemos concluir que el mcm (8, 12) = 24.
Nota: El mcm nos sirve para sumar o restar fracciones con diferente denominador o para sincronizar eventos repetitivos.
Si quieres ver una forma distinta sobre cómo obtener el MCD y el mcm te comparto el siguiente video en el que explico una variante de los algoritmos mostrados.
A continuación te comparto un generador de números para que puedas praticar. Simplemente haz clic en ‘Generar números’ y resuelve el ejercicio que aparece. Cuando termines, presiona ‘Comprobar resultados’ para ver si lo hiciste bien. Si necesitas ayuda, no te preocupes, puedes consultar la factorización de cada número o la lista de números primos para encontrar la solución.
Problemas
Por último, a continuación te comparto algunos problemas para que veas en qué tipo de situaciones se pueden utilizar el MCD y el mcd, las respuestas las encontrarás al final del documento para que puedas corroborar tus resultados.
Te felicito por completar esta clase, te recomiendo que para continuar avanzando vayas ahora a la clase de Operaciones con fracciones.