Si alguna vez te has preguntado por qué en matemáticas nos encanta usar exponentes, te tengo una buena noticia: no es solo por complicar la vida. De hecho, los exponentes son una herramienta muy práctica que nos ayuda a hacer cálculos más rápido y escribir expresiones gigantes con pocos caracteres.
Pero antes de meternos de lleno, vamos con lo básico. Un exponente no es más que una forma abreviada de escribir multiplicaciones repetidas. Por ejemplo:
2^5=2\times 2\times 2\times 2\times 2
En lugar de escribir todo esto: (2\times 2\times 2\times 2\times 2), usamos un pequeño número (5) arriba del 2 que nos indica la cantidad de veces que debe ser multiplicado.
¿Por qué son importantes las leyes de los exponentes?
Cuando empiezas a trabajar con expresiones más grandes, te das cuenta de que escribir y calcular todo manualmente es una locura (además nos da flojera, hay que ser honestos); y sí, tenemos calculadoras, spartphones, apps y ahora, inteligencias aritficiales que hacen cálculos súper rápido, pero aún así recuerda que tienes que ordenar la información y proveérsela a lo que sea que vayas a utilizar. Ahí es donde entran las leyes de los exponentes, que yo veo como una especie de plantillas de expresiones algebraicas que sirven para manipular potencias sin complicarte la existencia.
Y bueno, basta de tanto rollo, vamos a comenzar con la explicación de cada una de las leyes principales, así como de su respectiva práctica, no te saltes ninguna de ellas y ponles mucha atención porque créeme, se suelen confundir. Primero te comparto la lista de todas las leyes que vamos a estudiar, para que puedas usar este formulario de manera práctica, después está la explicación de cada una de ellas.
Ley 1. a^0=1
Ley 2. a^1=a
Ley 3. a^n\cdot a^m=a^{n+m}
Ley 4. \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}
Ley 5. (a^n)^m=a^{nm}
Ley 1. Exponente cero
a^0=1
Esta ley nos dice que cualquier expresión que tenga exponente cero será igualada a 1. Es la razón por la que podemos cancelar términos idénticos cuando se encuentran en lugares contrarios de la fracción (numerador/denominador)
Ejemplos:
- x^0=1
- (2x)^0=1
- (3x^2y)^0=1
- (5x+2y)^0=1
- (-3x^4)^0=1
Toma en cuenta que el exponente sólo afecta a lo que se encuentra a su izquierda inmediata, por lo que en una expresión como 4x^0 su equivalencia sería 4x^0=4(1)=4.
Para esta ley no te voy a proveer de un generador de ejercicios, no lo considero necesario, sólo esfuérzate por no olvidarla.
Ley 2. Exponente cero
a^1=a
Esta ley nos indica que cuando el exponente de una variable vale 1, no es necesario escribirlo. Tal vez lo siguiente que voy a decir es obvio pero necesito hacerte evidente que esto también significa que cuando no veas el exponente de una variable es porque vale 1.
Ejemplos:
- x^1=x
- x^1y^1z^1=xyz
- 2x^1=2x
- 3y^1=3y
- -7x^1=-7x
Para esta ley tampoco te voy a proveer de un generador de ejercicios, sigo sin considerarlo necesario, pero también esfuérzate por no olvidarla.
Ley 3. Producto
a^n\cdot a^m=a^{n+m}
Ten mucho cuidado porque esta ley suele ser confusa, nos indica que al multiplicar una misma base, sus exponentes se tendrán que sumar.
Ejemplos:
- x^7\cdot x^5=x^{7+5}=x^{12}
- y^2\cdot y^4=y^{2+4}=y^6
- x\cdot x=x^{1+1}=x^2
Recuerda, sólo los exponentes se suman, los coeficientes sí se multiplican.
Ejemplos:
- 3x^2(4x^6)=12x^{2+6}=12x^8
- -2x(5x^3)=-10x^{1+3}=-10x^3
¡Vamos a practicar!
Instrucciones: escribe en el recuadro el exponente que resulta de la multiplicación que se muestra, recuerda aplicar correctamente las leyes de los signos.
Ley 4. Divisiones
\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}
En realidad hay mucho que hacer con esta ley, la vas a ocupar demasiado en la escuela, pero por lo pronto sólo te enseñaré lo básico. Ésta nos indica que cuando dividimos una variable entre sí misma, sólo necesitamos restarle el segundo exponente al primero (cuidado con las leyes de los signos).
Ejemplos:
- \frac{x^8}{x^5}=x^{8-5}=x^3
- \frac{x^2}{x}=x^{2-1}=x
- \frac{y^4}{y^9}=y^{4-(9)}=y^{-5}
- \frac{y^3}{y^{-4}}=y^{3-(-4)}=y^{7}
Recuerda, sólo los exponentes se restan, si existen coeficientes, en algunas ocasiones se podrán simplificar, o puedes hacer las divisiones correspondientes.
Ejemplos:
- \frac{12x^7}{8x^{5}}=\frac{3x^{7-5}}{2}=\frac{3x^{2}}{2}
- \frac{4x^5}{20x^{-3}}=\frac{x^{5-(-3)}}{5}=\frac{x^{8}}{5}
¡Vamos a practicar!
Instrucciones: escribe en el recuadro el exponente que resulta de la división que se muestra, recuerda aplicar correctamente las leyes de los signos.
Ley 5. Potencias de potencias
(a^n)^m=a^{nm}
Ten mucho cuidado de no confundir esta ley con la 3. Esta ley nos dice que las potencias de las potencias se obtinenen al multiplicar los exponentes.
Ejemplos:
- (x^3)^5=x^{15}
- (x^2)^4=x^{8}
- (x^{-5})^2=x^{-10}
- (x^6)^{-3}=x^{-18}
¡Vamos a practicar!
Instrucciones: escribe en el recuadro el exponente que resulta simplificar los exponentes.
Te felicito por completar esta clase, te recomiendo que para continuar avanzando vayas ahora a la clase de Introducción a las ecuaciones.